综合除法（高等代数综合除法）

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1、綜合除法：除式為一次式的快速除法 *先處理除式為(x－c)型，例如(x4＋x3－4x2－x＋3)÷(x－1)，完整的算式為： (原式列) 1 1 －4 －1 3 1 (除式的根) (計算列) 1 2 －2 －3 (結果列) 1 2 －2 －3 , 0 (商) (餘 數) 作法：先將被除式f(x)的係數分離出來，缺項要補0，最右方放置除式(x－c)的根c (1)將最高次項係數1直接放到結果列第一位。

2、 (2)將它乘上除式的根1，得到1放在右上計算列位置。

3、 (3)將原式列與計算列相加得2，放在結果列。

4、 (4)每算出一個結果，就拿去乘上除式的根1，放在右上計算列位置，將原式列與計算列相加放在結果列，直到最後一位加完。

5、 結果列最後一個數是餘數，也是被除式代入除式根的值f(c)，其前方就是商的係數 被除式係數與除式根之間會作一個區隔記號，餘數與商之間也會，避免混淆 *再來處理除式為(ax－b)，例如(2x3＋3x2－x－1)÷(2x＋1) 一個重要的定理：f(x)÷(ax－b)的商是f(x)÷(x－ )的商的 ，而餘數則相同 所謂f(x)÷g(x)＝q(x)…餘r(x)，就是f(x)＝g(x)q(x)＋r(x) (被除式＝除式×商式＋餘式) 因此如果f(x)÷(ax－b)＝q(x)…餘r，表示f(x)＝(ax－b)q(x)＋r 將a提出乘給q(x)得f(x)＝(x－ )[aq(x)]＋r，即f(x)÷(x－ )＝aq(x)…r 也就是說，如果把除式由(ax－b)換成(x－ )，商變a倍，而餘數不變，因此÷(ax－b)的商是÷(x－ )的 ，而餘數則相同 利用這個定理，(2x3＋3x2－x－1)÷(2x＋1)就可以用2x3＋3x2－x－1)÷(x＋ )來算(這樣可以用綜合除法)，再將商除以2： 2 3 －1 －1 － －1 －2 1 (除以2) 2 2 －2 , 0 1 1 －1 真正的商 *連續使用綜合除法 前面的例子中提到x4＋x3－4x2－x＋3=0有因式x－1和x＋1，其實是兩次特定根檢驗的結果，理論上每檢驗出一個根就表是有一個一次因式，就可以除掉以降低次數。

6、因此發現x－1就可以除，發現x＋1時再除，綜合除法可以連續除： 1 1 －4 －1 3 1 1 2 －2 －3 1 2 －2 －3 , 0 －1 －1 －1 3 1 1 －3 , 0 回到解2x4＋x3－21x2－2x＋6=0的問題上，前面說它有12個可能的有理根－2、－2、3、－3、6、－6、 、－ 、 、－ ，因為常數項不為0、係數和不為0、奇偶次項係數和也不一樣，所以－1都不是根。

7、剩下的用綜合除法檢驗。

8、 2： 2 1 －21 －2 6 2 4 10 －22 －48 2 5 －11 －24 ,－42 ≠ 0 所以2不是根 －2： 2 1 －21 －2 6 －2 －4 6 30 －56 2 －3 －15 28 ,－50 ≠ 0 所以－2不是根 3： 2 1 －21 －2 6 3 6 21 0 －6 2 7 0 －2 , 0 所以3是根 這個結果顯示2x4＋x3－21x2－2x＋6=(x－3)(2x3＋7x2－2)，剩下的根都在2x3＋7x2－2中，這個時候我們只需要針對2x3＋7x2－2找根即可。

9、 注意到2x3＋7x2－2的最高次項係數是2，常數項也是2，因此它的有理根只可能是－2、－2、 、－ 六個。

10、原來的12個因為提出因式x－3改變了係數而變少了。

11、 再注意到－2、－2四個可能有理根在之前檢驗時已經排除，因此此時只需要檢驗剩下的 、－ 即可。

12、 我們可以在剛剛的算式下接著作(當然也可以獨立作)： 3： 2 1 －21 －2 6 3 6 21 0 －6 ： 2 7 0 －2 , 0 1 4 2 (÷2) 2 8 4 , 0 所以 是根 1 4 2 上式顯示2x4＋x3－21x2－2x＋6=(x－3)(x－ )(2x2＋8x＋4)，如果把商再除以2，可以得到2x4＋x3－21x2－2x＋6=(x－3)(2x－1)(x2＋4x＋2)，而剩下的根就在x2＋4x＋2中，也就是 ，化簡後( )為－2± 。

13、 因此整個方程式的根為3, , －2±。

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