偏微分算子的特征值与特征函数

[外文]：eigenvalue and eigenfunction of partial differential operator

由边界固定的膜振动引出的拉普拉斯算子的特征值问题：

是一个典型的偏微分算子的特征值问题，这里x=(x1，x2)；Ω是膜所占据的平面区域。使得问题有非平凡解（非零解）的参数λ的值，称为特征值；相应的解称为特征函数。当Ω有界且边界嬠Ω满足一定的正则条件时，存在可数无穷个特征值，相应的特征函数ψn(x)组成l2(Ω)上的完备正交系。乘以常因子来规范ψn(x)，使其l2(Ω)模为1，则Ω上的任意函数ƒ(x)的特征展式可写为：

当ƒ可以“源形表达”，即ƒ满足边界条件且Δƒ平方可积时，展式在Ω一致收敛。当ƒ平方可积时，展式平方平均收敛，且有帕舍伐尔公式：

对膜振动问题的认识还是相当有限的。能够精确地知道特征值的，只限于矩形、圆盘等少数几种非常简单的区域。对椭圆和一般三角形的特征值精确值，还几乎毫无所知。其他情形就更谈不上了。

将不超过 λ的特征值的个数记为N(λ)。特征值的渐近分布由N(λ)对大 λ的渐近式来刻画。这方面最早的结果是（C.H.）H.外尔在1911年得到的（外尔公式）：

式中表示Ω的面积。R.库朗将余项改进为。对于多角形区域，又有人将余项改进到。各种情况下改进余项估计的工作至今绵延不绝。外尔猜测有一个更强的结果：

式中｜嬠Ω｜是区域边界之长，但尚未被证出。

与此密切相关的是下面的MP公式：(t→+0)

取一个渐近项时，用陶伯型定理可由它推出N(λ)的外尔公式。第二渐近项与外尔猜想非常相象，但由此证不出外尔猜想。第三项迟至1966年才被M.卡茨导出，后来由H.P.麦基恩与I.M.辛格严格证明，其中h表示鼓膜Ω的洞数。

特征值与膜振动频率有一个直接的换算关系，M.卡茨据此给MP公式一个非常生动的解释：可以“听出“鼓膜的面积|Ω|、周长｜嬠Ω｜和洞的个数h！由于1-h恰巧是Ω的欧拉-庞加莱示性数，是整体几何中颇受重视的一个不变量，“听出鼓形”或“谱的几何”问题立即引起人们的强烈兴趣，并导致一系列重要的研究。不过一般的特征值反问题，要求从特征值的谱完全恢复Ω，还远远没有解决。

用陶伯型定理得出N(λ)渐近式的方法，由T.卡莱曼于1934年首创，他还得到谱函数的渐近式：(λ→∞)

，

式中δxy当x=y时为1，当x≠y时为0。

上述关于拉普拉斯算子的结果，由L.戈尔丁和F.E.布劳德推广到 Rn的有界区域Ω上的m 阶椭圆算子。尽管推算繁杂，但结果十分简单整齐：

；

；

式中 v(x) 表示 {ξ｜｜A0(x，ξ)｜<1}的勒贝格测度，而是A的较高阶导数项相应的特征形式。特征展开定理亦由L.戈尔丁得出。

对于奇异情形，例如薛定谔方程 的谱问题，可以证明存在谱函数S(x，y，λ)，特征展式为

。

由于可能出现连续谱，S(x，y，λ)一般不一定能写成前述特征函数双线和的形式。判定奇（异）微分算子谱的离散性是很有意义的工作。已经出现各种充分条件。不过关于特征值与特征函数渐近性质的研究，还只是限于少数特例。

在处理‖x‖→∞ 时V(x)→∞的情形，M.卡茨与D.雷等人曾创造了一种系统的概率方法，其中借助数学期望表出格林函数，有效地求出谱函数与特征值的渐近式：

。

当算子A的系数不光滑，或非一致椭圆，或非自共轭，以及边条件带特征参数或带非定域项等等情形，都出现不少研究结果。还有人考察Au=λBu型的特征值问题，这里A、B都是椭圆算子。

除上述问题外，特征展式的收敛性与求和法也一直受到人们的关注。