射影定理公式推导过程图解（射影定理公式）

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1、在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA    这三个式子叫做射影定理。

2、验证推导过程：①CD²=AD·BD;②AC²=AD·AB;③BC²=BD·AB;④AC·BC=AB·CD证明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²∴2CD²=AB²-AD²-BD²∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²∴2CD²=2AD·BD∴CD²=AD·BD②∵CD²=AD·BD(已证)∴CD²+AD²=AD·BD+AD²∴AC²=AD·(BD+AD)∴AC²=AD·AB③BC²=CD²+BD²BC²=AD·BD+BD²BC²=(AD+BD)·BDBC²=AB·BD∴BC²=AB·BD④∵S△ACB=  AC×BC=  AB·CD∴  AC·BC=  AB·CD∴AC·BC=AB·CD扩展资料：射影定理证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。

3、所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

4、那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。

5、在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。

6、将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。

7、参考资料：百度百科-射影定理。

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