牛顿法

[外文]：Newton’s method

求非线性方程（组）零点的一种重要的迭代法，又称牛顿－拉弗森法或切线法。其要点是：若在非线性方程ƒ(x)＝0的零点x＝x*邻域内，函数 ƒ(x)连续可微且ƒ┡(x)不为零，xn(n=0，1，2，…)是x*的近似值，则在此邻域，用线性函数

近似代替ƒ(x)，并以T(x)的零点

作为x*的新的近似值。这种通过构造序列x1，x2，…来近似x*的方法就是牛顿法。若ƒ(x)是实函数，x*是实数，则牛顿法有明确的几何意义：过点(xn，ƒ(xn))作曲线y =ƒ(x)的切线T，将T与x轴的交点xn+1作为x*的新近似值。对于非线性方程组，x和 ƒ(x)分别为矢变量和矢量函数，[ƒ┡(x)]-1为ƒ(x)的雅可比矩阵的逆矩阵。由牛顿法构造的序列x1，x2，…收敛于x*的充分条件是：

（1）在x*的邻域内ƒ┡(x)存在且满足李普希兹条件，即对x*邻域内的任意x┡、x″，有，式中0〈α〈1；

（2）[ƒ┡(x*)]-1存在；

（3）初始近似值x0充分接近x*。在上述条件下，x1，x2，…收敛于x*的速度不低于二阶。为了减弱收敛性对ƒ 的要求，提高收敛速度或减少计算量，牛顿法有许多变形，如修正牛顿法和拟牛顿法。