刚体定点转动

[外文]：rotation of a rigid body about a fixed point

刚体绕一固定点的运动。绕固定点转动的刚体只有一点不动，而其余各点则分别在以该固定点为中心的同心球面上运动。支在固定球铰链上的刚体、万向联轴节中的十字头、万向支架中的陀螺转子等，都可以作这种运动。 定点转动的刚体通常用欧拉角ψ、θ、嗞来定位。

刚体的定点转动方程为：

式中t为时间。

可表述为：定点转动刚体的任何有限位移可用绕某轴的一次转动来实现，该轴通过刚体的固定点。这个定理是J.le R.达朗伯于1749年，L.欧拉于1750年先后提出的，故得名。说明如下：

以中心在固定点O的任一球面截取刚体的截面图形S（图1）。

在刚体的有限位移中，图形内一点由A运动到A1，而另一点由B运动到B1，则大圆弧的中垂面OA┡P＊和大圆弧的中垂面OB┡P＊的交线OP＊就是刚体这一有限位移的转轴。

在短暂的时间间隔Δt内，刚体绕轴OP＊转过一微小角度Θ ，称为角位移。它具有矢量的性质，可按平行四边形规则相加。如果欧拉角定位，则当ψ、θ、嗞有微小变化dψ、dθ、d嗞时，刚体的微小角位移矢量Θ 可表示成：

，

式中i、j、k为固定轴系 Oxyz的单位矢；n、k┡为节线和动基轴Oz┡的单位矢（图2）。

Δt趋向于零时， Θ 趋于一个极限方向， Θ 与Δt之比也趋于一个极限值ω。矢量ω称为刚体在瞬时t的角速度，其数学表达式为：

，

式中

分别是绕三个欧拉角的轴z、n、z┡转动的角速度。Δt→0时转轴OP＊所趋于的极限位置OP称为刚体的瞬时轴，在每一瞬时，刚体以角速度ω绕瞬时轴转动。

随着时间的推移，刚体的瞬时轴要改变位置，它在固定空间描出一个锥面，称定瞬轴锥面（即空间极锥的锥面）;同时在刚体内部也描出一个锥面，称为动瞬轴锥面（即本体极锥的锥面）。由此可得潘索定理：刚体定点转动可用动瞬轴锥面在定瞬轴锥面上的纯滚动来代替。

在定瞬轴锥面上，刚体的角速度矢ω的端点E描出的曲线称为ω矢端图（图3）。

作定点转动的刚体角速度ω通常是变量。角速度变化 Δω与对应时间间隔Δt的比值当Δt→0时所趋至的极限值ε称为刚体在瞬时t的角加速度，其数学表达式为：

可以把视为ω矢端E沿矢端图运动的速度。

定点转动刚体内任一点Q的速度v和加速度a的公式，它们是：

v＝ω×r，

a＝a1＋a2＝ε×r＋ω×v，

式中r为点Q的矢径;a1=ε×r为旋转加速度，沿着(ε，r)平面的法线，一般并不和速度v共线；a2=ω×v为向轴加速度，恒垂直并指向瞬时轴(图4)，但不是沿点Q轨迹的主法线。

下面以分析碾盘的定点转动为例作一说明。 如图5所示，碾盘在固定水平面上绕固定点 O作无滑动的匀速滚动。碾盘和水平底盘相接触之点P┡的速度为零。OP是瞬轴，定瞬轴锥面是圆锥AOP，动瞬轴锥面是圆锥OB。角速度矢ω的端点E具有线速度u＝ε，沿轴Ox┡正向。碾盘上B点的速度vB平行于轴Ox┡，加速度aB＝a＋a且a垂直于OB和Ox┡所在平面，而a垂直并指向瞬时轴OP。