线性算子扰动理论

[外文]：perturbation theory for linear operators

研究算子在微小变动的情况下，它的各种性质变化的一种理论，始于20世纪20年代。为了研究振动系统受到微小扰动后的情况，人们利用反映扰动前系统的较简单的线性算子特征值问题的解，求出了反映经过扰动后算子特征值问题的近似解。E.薛定谔发展了类似的方法，深入地研究了量子力学中遇到的特征值问题，这就是量子力学中的微扰法。其后，一些数学家对这些微扰法中出现的级数的收敛性进行了一系列研究。与此同时，还研究了对于散射理论和量子场论有重要意义的连续谱的扰动。他们的工作启示人们进一步考察 线性算子的各种扰动问题。线性算子扰动理论已发展为算子理论中引人瞩目的一个重要分支。

线性算子扰动理论的基本问题是:设T是巴拿赫空间上的线性算子，A是扰动算子，当T+A和T在某种意义下很接近时，如何由T的性质导出T+A的相应性质？扰动理论中大量出现的是 算子，这是因为经典力学和量子力学中出现的算子常常是 的。薛定谔方程中出现的算子 就是 算子 经过位势项U(x)扰动后得到的。

扰动理论主要包括以下几个方面的内容。

（1）讨论某些重要的算子类（例如闭算子类、自共轭算子类、弗雷德霍姆算子类等）在扰动下的不变性。关于闭算子的扰动，有下面的概念和结果：设T，A是巴拿赫空间x到Y的两个线性算子，D(T)嶅D(A)，且存在α，b≥0，使得对x∈D(T)，成立‖Ax‖≤α‖x‖+b‖Tx‖，则称A关于T是相对有界的，而满足上式的b)的下确界称为A关于T的相对界。又若当{xn}和{Txn}均为有界时，{Axn}必有收敛子序列，则称A关于T是相对紧的。如果T是闭算子，而A关于T的相对界小于1，或者A关于T是相对紧的，而T+A也是闭算子。

（2）研究在小扰动下，对应的特征值和特征向量的扰动情况。这方面有下述基本结果:当T为巴拿赫空间上一个有界线性算子，而μ0为T的孤立的有限重特征值，它的重数是m，那么对ε>0，存在δ>0，使得当扰动算子A的范数小于δ时，算子T+A在圆{μ｜｜μ-μ 0｜<ε}中按重数计算恰好有 m个特征值。

（3）研究算子经过扰动以后，它的谱的变化情况。经常考虑的是在紧扰动下，谱的变化情况。这方面有下述的经典结果。

外尔-冯·诺伊曼定理　设H是可分的希尔伯特空间，A是H上自共轭算子。对ε>0，存在自共轭的希尔伯特－施密特算子S，‖S‖2<ε，使A+S仅有纯点谱（指特征向量张成闭线性子空间是全空间）。

类似的结果，对正常算子也成立。另外，研究算子半群的生成元经过小扰动后，算子半群性态的变化，也是扰动理论的一个课题。

参考书目

T.Kato，Perturbation Theory for Linear Operators，Springer-Verlag， New York， 1966.