有限差方程

[外文]：finite difference equation

含有未知函数的差分的条件等式，它是重要的一类函数方程，也称有限差分方程。

有限差方程的一般形式是

式中F是已知函数，ƒ(x)是未知函数，Δ是差分算子（见有限差演算）。利用Δ与移位算子E的关系式Δ＝E-I，其中I是不变算子，(1)可化成

如果(2)既明显地含有ƒ(x+nh)，又含有ƒ(x)就称(1)或(2)为n阶有限差方程。

满足有限差方程的函数称为它的解，n阶有限差方程的含有 n个任意常数的解称为通解。通解中的任意常数被确定后，即可获得一个特解。

称有限差方程

为n阶线性有限差方程。如果Q(x)呏0，则称该方程为齐次方程；反之，则称为非齐次方程。

方程(3)的解具有以下性质：

（1）如果函数ƒ1(x)，ƒ2(x)，…，ƒn(x)是相应于方程(1)的齐次方程的线性无关解，则相应的齐次方程的通解为，其中C1，C2，…，Cn为任意常数。

（2）方程(3)的通解可表为它的一个特解 ƒ*(x)与相应的齐次方程的通解之和，即，这两条性质就完全确定了线性有限差方程解的结构。

如果方程(3)中的αk(x)(k=0，1，…，n)都为常数，且h=1，则方程

就是常系数线性有限差方程。

求得方程(4)的通解，可根据线性有限差方程解的结构特点，由以下两个步骤来完成。第一步，求相应于(4)的齐次方程

的通解。设ƒ(x)=λx，代入上述方程，得到

称它为相应齐次方程的特征方程，其根称为特征根。如果所有的特征根λ1，λ2，…，λn都是实的单根，则齐次方程的通解为:如果特征根中有实的重根出现，则齐次方程的通解为

式中sk为特征根λk的重数， 且s1+s2+…+sp=n;Cjk(j=1，2，…，sk；k=1，2，…，p)为任意常数。第二步， 求非齐次方程(4)的一个特解。当右端函数 Q(x)具有某些特殊形式时，利用待定系数法可以直接求得特解，例如Q(x)是 k次多项式，且 1是相应的特征方程的s重根，则设，代入方程(4)，两边对比系数，可求出待定系数A0，A1，…，Ak，从而求得方程(4)的一个特解ƒ*(x)。又如Q(x)=p(x)b)x，其中p(x)为k次多项式，k为特征方程的s重根，则设， 代入方程(4)，求出待定系数，即得方程(4)的一个特解。将两步所求得的结果相加，即可得到方程(4)的通解。

如果特征根中出现复根，则对每一对共轭复根，利用欧拉公式，分别取实部和虚部作为线性无关解，参照上述方法，也可得到实的通解

除去上述的解法，还可利用发生函数、符号算子以及变易常数等方法去求方程(4)的通解。

求二阶常系数线性有限差方程

满足条件ƒ(1)=ƒ(2)=1的方程解ƒ(n)，其中变量n取自然数。

相应的特征方程为 λ2-λ-1=0。由此解出特征根为。从而通解为

由条件 ƒ(1)=ƒ(2)=1可求得。故解为

这就是斐波那契数列的通项表达式。

参考书目

L.M.Milne-Thomson，The Calculus of Finite Differences， Macmillan， London，1951.