方差分析

[拼音]：fangcha fenxi

[外文]： ysis of variance

通过分析实验数据来判断实验中各因素对结果有无影响或影响大小的统计学方法。英国统计学家、遗传学家R.A.费希尔在1923年首先提出，最初用于农业田间实验数据的统计分析。这一方法后来经过许多学者的发展在科学研究和工农业生产的许多领域获得了广泛应用。

方差分析简单地说，就是将反映全部实验数据在其平均值附近波动大小的按饲料的不同将小白鼠分成k组，每组的鼠数可以相等也可以不等，第i组的鼠数为ni(i=1，2，…，k)。试验结果小白鼠增加的体重第i组为 xi1，xi2，…，xini(i=1，2，…，k)。全部数据的平均值为

式中n=n1+n2+…+nk为全体鼠数，为第i组小白鼠增加体重的平均值。 上式说明，全体平均值塢是各组平均值塢1，塢2，…，塢k的加权平均（权数为n1／n，n2/n，…，nk/n）。反映全部数据对平均值塢离散程度的量称为变差平方和，也称总平方和，在方差分析中通常以SST记之。通过演算，可将SST分解成两部分:

上式说明形成总平方和SST的原因有两种:一是由于各组的平均值塢i对于总平均值塢的离散造成的SS1，通常称为解释平方和，也称组间平方和；另一则是纯由随机误差造成的SS2，通常称为误差平方和，也称组内平方和。如果SS1在SST中所占的份额很大，则说明不同的饲料对实验结果影响很大；在相反的极端情形下，如果SS1=0，即各组的平均值与总平均值重合，x1=x2=…=xk=塢，则SST将全部由随机误差造成。

因此计算SS1/SS2的大小，就能对饲料因素在实验中的影响作出判断。在统计学上通常将SS1/SS2称为F 比，这个统计量在一定条件下服从F分布。采用F比作显著性检验的方法称为F检验。 但在求F比以前，还须对SS1和SS2“正规化”一下，即把它各除以自己的自由度k-1和n-k，得到的

MS1=SS1/(k-1) MS2=SS2/(n-k)相应地称为解释平均平方和（组间平均平方和）及误差平均平方和（组内平均平方和）。

上述例子只考虑了一个因素（饲料的不同）的方差分析，但其基本思想可直接推广到多因素的情况。例如，在上例中除了考虑饲料的因素之外，还可考虑小白鼠的不同品种。这时有两个因素（饲料和品种）影响着小白鼠的生长。如果有k种饲料，l种品种，则实验数据要分成kl组。为了要对总平方和进行平方和的分解，需要对实验进行适当的设计，这是统计学中另一分支“实验设计”研究的主要内容。此外多因素方差分析还要考虑两个因素的相互影响，两个因素影响的总的效果往往不是单个因素影响的简单相加。这种现象在实验设计中称为交互作用。在单因素方差分析中不存在这种交互作用，它是多因素方差分析中特有的问题。

参考文章

为什么说随机区组设计方差分析的效率高于完全随机分组设计的方差分析？统计学

方差分析为何是单侧检验？统计学

方差分析的基本思想、应用条件是什么？统计学

方差分析的基本思想是什么？统计学

什么是方差分析？它研究的是什么？有哪些基本假定?统计学