线性代数方程组数值解法

[拼音]：xianxing daishu fangchengzu shuzhi jiefa

[外文]：numerical method of linear algebraic equations

计算数学的一个基本组成部分。在自然科学和工程技术的许多问题中，例如结构分析、网络分析、大地测量、数据分析、较优化以及非线性方程组和微分方程数值解等，都常遇到求解线性代数方程组的问题。早在我国古代的《九章算术》中，就已载述了解线性方程组的消元法。到19世纪初，西方也有了高斯消元法。然而求解未知数很多的大型线性代数方程组，则是在20世纪中叶电子计算机问世以后才成为可能。如何利用计算机更精确、更有效地解大型线性代数方程组是计算数学研究中的基本性的重要课题之一。

设含有n个未知数、n个方程的方程组为

式中αij，ƒi(i，j=1，2，…，n)为已知数，其相应的矩阵表达式为

用矩阵和向量的符号，又可简记为

A尣=ƒ，

式中A为(2)中的n阶系数矩阵(αij)；尣、ƒ分别为(2)中xi及ƒi构成的n维向量。如果A的行列式detA≠0，则按克拉默法则，式(3)的解为：

xj=detAj/detA，

式中Ai是把A中的第i列元素用ƒ1，ƒ2，…，ƒn代替后所得的矩阵。该法则之功效主要在于其理论意义，若用于数值求解，则因n+1个n阶行列式求值的计算量很大而不实用。

在计算实践中，通常采用的线性代数方程组的数值解法大体上可分为直接法和迭代法两大类。直接法是在没有舍入误差的假设下，是要考虑的问题。对于迭代法，其收敛性则是要考虑的问题。

所以，不论是直接法还是迭代法都要根据方程组的具体性质，例如系数矩阵的稀疏状态、正定性、对角优势等等，选择计算方法和采用诸如稀疏技术、加速收敛等相应措施，才能更为有效地利用计算机得出比较满意的结果。

参考书目

冯康等编：《数值计算方法》，国防工业出版社，北京，1978。

G.E.Forsythe and C.B.Moler，Computer Solution of Lineαr Algebrαic Systems，Prentice-Hall，Engle-wood Cliffs，New Jersey， 1967.