超声速无粘绕流数值解

[外文]：numerical solution for inviscid supersonic flow

飞行器以超声速在大气中运动时，会产生附体激波或离体激波，被激波压缩后的空气在飞行器周围的激波层的不同区域形成了亚声速或超声速流场。如果忽略大气的粘性效应，激波层内的流场可用欧拉方程描述，而且在激波上满足激波跳跃条件，在物面上满足速度和物面相切条件。超声速无粘绕流数值解就是用计算机和数值方法求解满足这种边界条件的欧拉方程，模拟和研究在不同飞行条件下形成的不同形状的超声速流场。从60年代起，随着计算机的更新和计算数学的迅猛发展，这种方法已日臻完善。

定常超声速无粘绕流流场可分为性质不同的两种区域：亚-跨声速混合区域和超声速区域。如果气流从钝头体或前缘倾角较大的尖头体绕过，第一种出现在头部附近，它是由位置待定的头激波、物面和从物面声速点出发的第一族特征线(其位置也待定)围成的封闭区域（见特征线法）；在该区域中，定常欧拉方程属混合型。第二种出现在上述流场中物体身部附近及前缘倾角较小的尖头体绕流流场中。它由位置待定的外激波、物面和从物面声速点出发的第一族特征线所形成。在该区域内流场的速度大于声速，定常欧拉方程属双曲型。为了确定绕流流场，须求解拟线性的混合型和双曲型方程组，并同时确定作为边界的激波位置和激波层内的次激波和膨胀波的位置。

即用数值法求解在这区域中的混合型欧拉方程组的边值问题。主要方法有两类：半解析方法和时间相关法。

属于半解析方法的有直线法和积分关系法。它们是在一个坐标或多个坐标方向上用某种解析函数（多项式函数、样条函数等）来近似描述流动参量（速度、压力、温度、密度等），从而将混合型偏微分方程组的边值问题改变为按一个坐标方向求解的常微分方程组的边值问题。一般说，这样做是不适定的。但经适当的数值处理，可用来计算亚-跨声速区域中比较光滑的流场。 这种方法目前已被广泛采用。时间相关法基于下面的假设：非定常欧拉方程的时间渐近解是定常欧拉方程的解。因此，时间相关法是在定常欧拉方程中加上时间导数项，把混合型的欧拉方程改变为带有时间项的双曲型方程组，然后再用数值方法求解这个双曲型的初边值问题而得到稳态解。之所以这样做是因为后者有比较完整的数学理论和多种行之有效的数值方法。尽管这个方法对计算机的存贮和速度有较高的要求，仍不失为一种有发展前途的方法。

在这个区域内是用数值求解双曲型欧拉方程组的初边值问题。它具有系统的数学理论，所以有各种各样数值方法。若流场光滑，特征线法无疑是既能提供明确力学意义，又能提供相当精确的数值结果的好方法。如果流场不光滑，流场中会出现各种间断和梯度大的区域，用特征线法就很不合适。在这种情况下，常常采用有限差分方法。目前已有不少相当成功的差分格式。然而在有限差分方法中也同样存在如何处理激波间断面的重要问题（见激波数值处理）。目前在一般计算中，对头激波采用激波装配法，而对流场中的激波和其他间断面则采用激波捕捉法。激波装配法是把头激波和流场中出现的激波，都作为数学间断面，按流场不同区域之间的边界进行精确处理，从而把整个流场分割成许多光滑流场区域。这种方法在计算上颇为复杂，然而精确度较高，流动图案也清晰。但要事先对流动的力学过程有一定的了解。激波捕捉法是不管流场中激波存在与否，都通过数值格式中的人工粘性或格式粘性来处理激波间断，使激波成为一个能满足跳跃条件的光滑过渡的连续面。这种方法比较简单，适用性强，只是流动图案不如前者清晰。

超声速无粘绕流数值解，对于物形比较简单的问题，目前已能比较准确地给出流场参量和有关飞行器的各种气动力系数，成为飞行器设计的一个依据。今后将主要研究那些物形比较复杂(如烧蚀后形成的 形头部，任意形状的三维物形等)的绕流流场、 流场中激波的产生和相互作用、高温下有化学反应的非理想气体流场等问题的数值解。

参考书目

朱幼兰等著：《初边值问题差分方法及绕流》，科学出版社，北京，1980。