赋值

[外文]：valuation

实数（或复数）绝对值在任意域上的推广。赋值这个概念最初是由J.屈尔沙克于1913年提出的。设 φ是定义在任意域F上的一个取非负实数值的函数，并满足以下三个条件：

（1）φ(α)=0，当且仅当α=0，并对某个α∈F 有φ(α)≠1；

（2）φ(αb)=φ(α)φ(b)；

（3）φ(α+b)≤φ(α)+φ(b)，J.屈尔沙克把这样的φ称为F上的一个赋值。按照通行的叫法，后改称之为F的绝对值。不久以后，A.奥斯特罗夫斯基引进了另一种绝对值φ，它满足上述的①和②，以及④，并把这种φ称为非阿基米德绝对值，而把满足①、②、③而不满足④的那些φ称为阿基米德绝对值。实数域R或复数域C的通常绝对值就是它们的阿基米德绝对值。有绝对值φ的域F，记作(F，φ)。

借助于F的绝对值φ，可以把分析学上的一些概念移植于F。设｛αi｝是F的一个序列。若对于每个实数ε>0，总有一个自然数n0，使得当m，n≥n0时，恒有φ(αm－αn)<ε，则称{αi}是(F，φ)的一个φ柯西序列。若对于序列｛αi｝，有α∈F，使得当n≥n0时恒有 φ(αn-α)<ε则称{αi}是φ收敛的，而α称为它的φ极限。若(F，φ)中每个φ柯西序列都是φ收敛的，则称F关于φ是完全的，或者说(F，φ)是完全域(complete field)。实数域R或复数域C关于通常的绝对值是完全的，而K.亨泽尔的P进数域Qp则是一个非阿基米德绝对值的完全域。对这两种域作统一的处理，正是发展赋值理论的一个主要出发点。F上所有形如的级数，称为F上关于文字X的形式幂级数。按照通常的加、乘运算，它们组成一个域，称为F上的形式幂级数域，记作 F((x))。令，以及ρ(0)=0，于是得到一个完全域(F((X))，φ)。

当φ是阿基米德绝对值时，有著名的奥斯特洛夫斯基定理：若F关于阿基米德绝对值φ是完全的，则F连续同构于R 或C。

非阿基米德绝对值这个概念还可以作如下的推广。设 Г是一个有序交换群，其运算为乘法，单位元素为1。设0是一个符号，它与Г的元素r，满足r·0＝0·r＝0·0＝0，以及0

（1）φ(α)=0当且仅当α=0；

（2）φ(αb)=φ(α)·φ(b)；

（3），则称φ是F的一个赋值.或者说F是有赋值φ的赋值域，记作(F，φ)。Г称为φ的值群。当Г是正实数乘法群时，φ就是前面所说的非阿基米德绝对值。在赋值域(F，φ)中，子集成一个环，称为φ 的赋值环。F的子环 A成为某个赋值的赋值环，当且仅当对于F的每个元素α，必有α∈A或者α_1∈A。

从域F的一个子环A 到某个域K 的一个同态映射B，如果满足：

（1）对于α∈F-A，有α_1∈A以及α_1B=0；

（2）B把A的单位元素映射到K的单位元素，那么B称为F的一个位。域的每个位，显然给出一个赋值环；反之，从域的赋值环也不难作出域的一个位。因此，赋值、赋值环和位这三个概念密切相关。位还是代数几何中的一个重要概念，早在R.戴德金和H.韦伯的经典著作中就有了它的雏型。赋值自W.克鲁尔于20世纪30年代初提出以后，赋值理论广泛应用于代数数论、类域论以及代数几何等方面；到了60年代，它又与泛函分析有着日益增长的关联。

设Г是赋值φ的值群，Δ是Г的一个子群。若对于Δ的每个元素δ，Г中所有满足δ-1<у<δ的元素у也属于Δ，则Δ称为Г的一个孤立子群。｛1｝和Г都可以作为Г的孤立子群。以下设Г≠｛1｝。由于Г是有序的，Г中所有的孤立子群按包含关系成一个全序的集。除Г 本身外的所有孤立子群，按包含关系所成全序集的序型定义为Г的阶。若φ的值群Г的阶是m，就称φ是m阶赋值。因此，所谓一阶赋值，就是指值群只有｛1｝为其真孤立子群的赋值。有序交换群的阶为1，当且仅当它保序同构于某个由实数所成的乘法群。这个事实表明，一阶赋值正是前面所定义的非阿基米德绝对值。

当一阶赋值φ的值群为无限循环群时，则φ称为离散赋值。例如，关于有理数域Q。设 p是一个素数，那么每个有理数α≠0都可惟一地写成的形式，其中b、с是与p互素的整数，v(α∈Z。规定，以及φ(0)=0。不难验知，φ满足赋值的条件，而且是一个离散赋值，称之为Q的p进赋值。

设(F，φ)是一个赋值域，K是F的一个扩域，若K有一个赋值ψ，使得对每个α∈F，都有ψ(α)=φ(α)，则ψ称为φ在K上的开拓。关于赋值开拓有存在性定理：F的赋值在F的任何一个扩域上都至少有一个开拓。

如果域F有一个拓扑τ，使得F的四则运算关于τ是连续的，那么F称为关于τ的拓扑域，记作(F，τ)。库尔雪克意义下的赋值域，是拓扑域的最早例子。

赋值理论也可以从拓扑代数的角度来研究，是基于下述事实。对于有绝对值φ 的域 F，所有形如｛α∈F｜φ(α)<ε｝的子集构成零元素的一个基本邻域族，从而生成F的一个域拓扑。在φ是F的赋值时，情形也相同。对拓扑域作系统的研究始于20世纪30年代初期D.von 丹齐克的工作。

任何拓扑域(F，τ)只能是连通的，或者完全不连通的。如果τ是F的一个局部紧拓扑，那么(F，τ)称为局部紧域。离散拓扑也是一种局部紧拓扑。仅就非平凡的和非离散的情形而论，局部紧域有一些显著的性质。首先，每个局部紧域 (F，τ)都有一个绝对值φ，使得由φ所生成的拓扑与τ相同。其次，还有定理:设(F，τ)是一个局部紧域。如果它是连通的，那么它连续同构于R或C（关于通常绝对值的拓扑）；如果它是完全不连通的，那么它就连续同构于 p进数域Qp的一个有限扩域，或者某个有限域K上的形式幂级数域 K((x))的有限扩域。

参考书目

O.Zariski and P.Samuel，Commutative Algebra，Vol.2，Springer-Verlag，New York，1960.

O. Endler，valuation Theory，Springer-Verlag， Berlin，1972.