狄利克雷级数

[外文]：Dirichlet series

又称指数级数，即形如

(1)

的级数，简记为，式中 αn是复常数；；s=σ+it；σ及t是实变数。若(1)收敛，则记其和为ƒ(s)。当λn=n时，级数(1)是e-s的幂级数，其性质可由幂级数的性质推出，由此启示人们研究一般指数级数的性质。当λn=lnn时，级数(1)成为这是P.G.L.狄利克雷在解析数论中引用的重要级数;在αn=1的最简单的情形，它称为黎曼 ζ函数。此外，把狄利克雷级数推广到积分的情形就是拉普拉斯变换，因此两者有很多类似之处。

对一般指数级数有阿贝尔型的定理：设级数(1)在一点s0收敛，则它在任何角域│arg(s-s0)│≤у(<π/2)中一致收敛。这样，如级数(1)在一点收敛(绝对收敛)，则它在任何点s=σ+it(σ>σ0)收敛(绝对收敛)。于是级数(1)属于下列三种情况之一：

（1）存在着有限数 σ0(σα)，级数在半平面σ>σ0(σ>σα)内收敛(绝对收敛)，在半平面σ<σ0(σ<σα)内发散(不绝对收敛)。这时σ0(σα)称为级数 (1)的收敛横坐标(绝对收敛横坐标)，σ>σ0(σ>σα)称为收敛半平面（绝对收敛半平面），σ=σ0(σ=σα)称为收敛轴（绝对收敛轴）。

（2）对任何 s=σ+it，级数发散（不绝对收敛），这时称级数(1)的收敛（或绝对收敛）横坐标为+。

（3）对任何s=σ+it，级数收敛（绝对收敛），这时称级数(1)的收敛（绝对收敛）横坐标为－。

对级数 (1)还可引进一致收敛横坐标的概念。级数(1)的一致收敛横坐标是。

这几个收敛横坐标有如下关系：。当λn=n时，，但这在一般情形下不成立，例如对于

对于级数(1)的各种收敛坐标，有柯西－阿达马公式的推广，如，设

且令

如，则令。于是

关于收敛横坐标还有一个简单的不等式：

根据阿贝尔型定理以及外尔斯特拉斯定理，在上述情况①下，ƒ(s)在σ>σ0内解析;在情况③下，ƒ(s)为一整函数。可是反之，并非任何整函数或在半平面σ>α内的解析函数都可表示为指数级数。Α.Ф.列昂季耶夫不限于考虑｛λn｝是正数序列的级数(1)。他证明了:任何整函数可写成三个式 (1)型级数的和，而在每一级数中，｛λn｝在从原点出发的一条射线上。对于无穷或有界凸区域内解析的函数，也有类似结果。

如σα<+，那么对于σ1>σα， 式中t0是任一实数。由此可得柯西不等式的推广：

(2)

这里

(2)有种种推广，特别是对渐近指数级数的推广，可用来解决一些分析中的重要问题，如加权逼近问题、矩量问题的惟一性以及准解析函数问题等。

关于幂级数的奇异点、增长性、值的分布以及求和法等方面许多结果，都可推广到指数级数。

参考书目

S. Mandelbrojt，Séries de Dirichlet， Gauthier-Villars，Paris， 1969.

S.Mandelbrojt，Séries Adhérentes etc.，Gauthier-Villars，Paris， 1952.